गणितामध्ये, जटिल फंक्शन f ( z ) ची लॉरेंट मालिका ही त्या फंक्शनची पॉवर सिरीज म्हणून दर्शवते ज्यामध्ये ऋण पदवीच्या अटींचा समावेश होतो. ज्या प्रकरणांमध्ये टेलर मालिका विस्तार लागू केला जाऊ शकत नाही अशा प्रकरणांमध्ये जटिल कार्ये व्यक्त करण्यासाठी याचा वापर केला जाऊ शकतो. लॉरेंट मालिकेचे नाव 1843 मध्ये पियरे अल्फोन्स लॉरेंट यांच्या नावावर ठेवण्यात आले आणि ते प्रथम प्रकाशित झाले. कार्ल वेअरस्ट्रास यांनी 1841 मध्ये लिहिलेल्या पेपरमध्ये ते प्रथम शोधले असावे, परंतु त्यांच्या मृत्यूनंतर ते प्रकाशित झाले नाही.
बिंदू c बद्दल f ( z ) जटिल फंक्शनसाठी लॉरेंट मालिका दिली आहे
जेथे n आणि c स्थिरांक असतात, n सह एका रेषेच्या अविभाज्य द्वारे परिभाषित केले जाते जे कॉचीच्या अविभाज्य सूत्राचे सामान्यीकरण करते:
एकीकरणाचा मार्ग
γ
{\displaystyle \gamma }
जॉर्डनच्या वळणाभोवती घड्याळाच्या उलट दिशेने आहे आणि c भोवती आहे आणि अॅन्युलस A मध्ये आहे ज्यामध्ये
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
होलोमॉर्फिक (विश्लेषणात्मक) आहे. साठी विस्तार
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
नंतर अॅन्युलसच्या आत कुठेही वैध असेल. उजवीकडील आकृतीमध्ये वलय लाल रंगात दाखवले आहे, त्यासोबत एकीकरणाच्या योग्य मार्गाचे लेबल लावलेले आहे.
γ
{\displaystyle \gamma }
. आम्ही घेतल्यास
γ
{\displaystyle \gamma }
वर्तुळ असणे
|
z
−
c
|
=
ϱ
{\displaystyle |z-c|=\varrho }
, कुठे
r
<
ϱ
<
R
{\displaystyle r<\varrho
, हे फक्त च्या प्रतिबंधाच्या जटिल फूरियर गुणांकांची गणना करण्याइतके आहे
f
{\displaystyle f}
करण्यासाठी
γ
{\displaystyle \gamma }
. हे अविभाज्य समोच्च विकृतीमुळे अपरिवर्तित आहेत हे तथ्य
γ
{\displaystyle \gamma }
ग्रीनच्या प्रमेयाचा तात्काळ परिणाम आहे.
एक जटिल कार्य f ( z ) येथे लॉरेंट मालिका देखील मिळवू शकते
z
=
∞
{\displaystyle z=\infty }
. तथापि, हे केव्हा सारखेच आहे
R
→
∞
{\displaystyle R\rightarrow \infty }
(खालील उदाहरण पहा).
व्यवहारात, वरील अविभाज्य सूत्र गुणांकांची गणना करण्यासाठी सर्वात व्यावहारिक पद्धत देऊ शकत नाही.
a
n
{\displaystyle a_{n}}
दिलेल्या कार्यासाठी
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
; त्याऐवजी, एक अनेकदा ज्ञात टेलर विस्तार एकत्र करून लॉरेंट मालिका एकत्र करते. कारण जेव्हा फंक्शन अस्तित्वात असते तेव्हा त्याचे लॉरेंट विस्तार अद्वितीय असते, या स्वरूपाची कोणतीही अभिव्यक्ती जी दिलेल्या फंक्शनच्या बरोबरीची असते
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
काही अॅन्युलसमध्ये प्रत्यक्षात लॉरेंटचा विस्तार असावा
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
.
लॉरेंट मालिका
चर्चा करण्यासाठी एक आकर्षक विषय.
