गॅमा फल

गॅमा फल (Gamma function) हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे Γ(z) ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे Γ(2) = 1!,Γ(3) = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,







Γ

(

z

)

=



∫



0





∞







t



z

−

1







e



−

t







d

t

.





{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.}



प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा n! = Γ(n + 1) असा असतो.



Γ(z) परिभाषित आणि विश्लेषणात्मक क्षेत्र Re(z)>0.

Γ(n+1)=n! , n≥0 पूर्णांक साठी.

Γ(z+1)=zΓ(z) (कार्य समीकरण)









Γ

(

1

−

z

)

Γ

(

z

)

=





π



sin

⁡

π

z







,



z

∉



Z







{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }





जे सूचित करते,







Γ

(

z

−

n

)

=

(

−

1



)



n

−

1













Γ

(

−

z

)

Γ

(

1

+

z

)





Γ

(

n

+

1

−

z

)







,



n

∈



Z







{\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }





लेजेंडर डुप्लिकेशन सूत्र,







Γ

(

z

)

Γ



(



z

+







1

2









)



=



2



1

−

2

z











π







Γ

(

2

z

)

.





{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}





ऑयलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र







Γ

(

z

)

=



lim



n

→

∞













n



z





n

!







∏



k

=

0





n





(

z

+

k

)







.





{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.}

विकिपीडियावर संपूर्ण लेख वाचा →